Ten post jest matematyczny więc ostrzegam, że nie każdy może mieć ochotę go czytać :P. Mnie by się nie chciało ;) Ostatnimi czasy na studiach daje mi w kość przedmiot zwany Metodami Numerycznymi. Niedługo poprawa kolokwium, egzamin połówkowy i takie tam inne :). W związku z tym zacząłem zgłębiać temat uwarunkowania macierzy i doszedłem do dość dziwnych obserwacji. Zacznijmy od podstaw teoretycznych, czyli jak definiujemy uwarunkowanie macierzy: gdzie zapis ||A|| oznacza normę macierzy A. Norm możemy ustalić wiele; w przypadku macierzy stosuje się często normy: wierszową, kolumnową i spektralną. Nie będę tu ich tłumaczył, szkoda miejsca ;). Wobec powyższego powstaje naturalne pytanie: której normy użyć do obliczeń współczynnika uwarunkowania? W wykładach i książkach (Fortuna ;) ) niewiele znalazłem, Wikipedia też nie pomaga. Jako leniwy ale kreatywny student postanowiłem nie szukać intensywnie odpowiedzi po forach matematycznych, tylko przeprowadzić małe badania. Zadałem pytania:

• Właściwie jak to jest z tymi normami? Czy dla danej macierzy te trzy normy są identyczne albo chociaż podobne?
• Jak różnią się od siebie współczynniki uwarunkowania macierzy w zależności od wybranej normy?

W znalezieniu odpowiedzi pomógł MATLAB. Skrypt, którym przeprowadziłem badania można pobrać tutaj: [SKRYPT] (Octave-compatibile :) ). W doświadczeniu tym generowałem po 10 losowych macierzy NxN, gdzie N zmieniało się od 2 do 300. Pozwala to tak z grubsza wyrobić sobie jakąś opinię na temat tego, jak rosną normy i współczynniki uwarunkowania zależnie od rozmiaru macierzy. Poniżej garść obrazków z MATLABa: Wnioski:

• Normy wierszowe i kolumnowe (rys. 1, odpowiednio czerwona i zielona linia) są do siebie podobne, rosną mniej więcej liniowo. Norma spektralna (niebieska linia) również rośnie z grubsza liniowo wraz z rozmiarem macierzy, ale robi to dużo wolniej od pozostałych.
• Normy macierzy odwrotnych do macierzy A są raczej niewielkie, trzymają się blisko zera, ale rozsiane są bardzo chaotycznie. Gdzieniegdzie jakaś norma wyskoczy bardzo wysoko.
• Współczynniki uwarunkowania dla norm wierszowych i kolumnowych (rys. 2, kolory jak na poprzednim) są bardzo zbliżone do siebie, podobnie jak same normy. Uwarunkowanie dla normy spektralnej jest o rząd wielkości mniejsze (rys. 3, to samo w skali logarytmicznej na osi y).
• Współczynniki uwarunkowania dla wszystkich norm razem rosną i maleją (rys. 4, tzn. wzrost współczynnika uwarunkowania dla norm wierszowej i kolumnowej wiąże się ze wzrostem tegoż współczynnika dla normy spektralnej).

Pomimo powyższych przemyśleń dalej pozostaje dla mnie nierozwiązaną jedna kwestia: której normy używać do policzenia uwarunkowania macierzy w metodach numerycznych, kiedy chcę określić uwarunkowanie zadania? Może mi ktoś z Czytelników pomoże :).